1. はじめに
1/3 (10)を2進数で表せますか？2進数とは0と1で数を表す方法です。そして自然数を2進数で表す方法は多くの方が知っていると思います。小数はどのように表すのでしょうか？例えば1/4、つまり10進数の0.25は2進数で0.01 (2)と表わせます。では1/3はどうすれば表せるでしょうか？
2. 答え
正解は0.0101010・・・ (2)です。0と1を交互に繰り返します。
3. 解説その1
直感的に分かる説明をします。まず1/3は0と1/2の間ですよね。そのため次のように表せることがわかります。
0 < 1/3 < 2/2 ⇔ 0 (2) < 1/3 < 0.1 (2)
次に1/3は1/4と1/2の間にあることが分かります。そのため次のように表せます。
1/4 < 1/3 < 2/4 ⇔ 0.01 (2) < 1/3 < 0.10 (2)
以下、これを繰り返していきます。
2/8 < 1/3 < 3/8 ⇔ 0.010 (2) < 1/3 < 0.101 (2)
5/16 < 1/3 < 6/16 ⇔ 0.0101 (2) < 1/3 < 0.1010 (2)
・・・
したがって1/3を2進数で表すとおそらく0.01010・・・(2)のようになると予測できます。
4. 解説その2
やっていることは同じなのですが、こっちの方が自分は好きです。
1/3 = 1/4 + 1/12
= 1/4 + 1/4 ・ 1/3
= 1/4 + 1/4 ・ (1/4 + 1/12)
・・・
したがって1/3 = 0.01010・・・(2)